Дифференциальное уравнение 2yy'=1-3x^2

Step

Дано уравнение:
$$2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - 3 x^{2} + 1$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - 3 x^{2} + 1$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \frac{1}{2 y{\left(x \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$\frac{1}{2 y{\left(x \right)}}$$
получим
$$2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - 3 x^{2} + 1$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$2 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- 3 x^{2} + 1\right)$$
или
$$2 dy y{\left(x \right)} = dx \left(- 3 x^{2} + 1\right)$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int 2 y\, dy = \int \left(- 3 x^{2} + 1\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$y^{2} = - x^{3} + Const + x$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- x^{3} + C_{1} + x}$$
$$y_{2} = y{\left(x \right)} = \sqrt{- x^{3} + C_{1} + x}$$