Дифференциальное уравнение (2xy^2-y)dx+xdy=0

Дано уравнение:
$$2 x y^{2}{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Сделаем замену
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
и т.к.
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
то
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
подставляем
$$2 x^{3} u^{2}{\left(x \right)} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
или
$$2 x^{3} u^{2}{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$

Step

Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(u)\ u' = f_2(x)\ g_2(u)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(u \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - 2 x$$
$$g_{2}{\left(u \right)} = u^{2}{\left(x \right)}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(u)}{g_2(u)}\ u'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}$
$$u^{2}{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = - 2 x$$
Этим самым мы разделили переменные x и u.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = - 2 dx x$$
или
$$\frac{du}{u^{2}{\left(x \right)}} = - 2 dx x$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по u,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \int \left(- 2 x\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с u
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \frac{1}{u} = - x^{2} + Const$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной u.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$u_{1} = u{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + C_{1}}$$
делаем обратную замену
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = \frac{x}{x^{2} + C_{1}}$$