Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- Система дифференциальных уравнений по шагам
- Интеграл по шагам
- Неравенства по шагам
- Системы уравнений по шагам
-
Как пользоваться?
- Дифференциальное уравнение:
- Уравнение x''-x=0
-
Уравнение y'=-tgx
-
Уравнение dx/dt=2
-
Уравнение 2(xy′+y)=xy^2
- Уравнение:
- xy^2
-
Идентичные выражения
- два (xy′+y)=xy^ два
- 2(xy′ плюс y) равно xy в квадрате
- два (xy′ плюс y) равно xy в степени два
- 2(xy′+y)=xy2
- 2xy′+y=xy2
- 2(xy′+y)=xy²
- 2(xy′+y)=xy в степени 2
- 2xy′+y=xy^2
-
Похожие выражения
- 2(xy′-y)=xy^2
Дифференциальное уравнение 2(xy′+y)=xy^2
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
⌨
Решение
Вы ввели
[src]
d 2
2*y(x) + 2*x*--(y(x)) = x*y (x)
dx
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} = x y^{2}{\left(x \right)}$$
2*x*y' + 2*y = x*y^2
Подробное решение
Дано уравнение:
$$- x y^{2}{\left(x \right)} + 2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} = 0$$
Сделаем замену
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
и т.к.
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
то
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
подставляем
$$2 x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{2}{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
или
$$2 \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{u^{2}{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(u)\ u' = f_2(x)\ g_2(u)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(u \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(u \right)} = - \frac{u^{2}{\left(x \right)}}{2}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(u)}{g_2(u)}\ u'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}$
$$- \frac{u^{2}{\left(x \right)}}{2}$$
получим
$$- \frac{2 \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и u.
Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$- \frac{2 dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$- \frac{2 du}{u^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по u,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Возьмём эти интегралы
$$\frac{2}{u} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной u.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$u_{1} = u{\left(x \right)} = - \frac{2}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}$$
делаем обратную замену
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - \frac{2}{x \left(C_{1} + \log{\left(x \right)}\right)}$$
$$- x y^{2}{\left(x \right)} + 2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} = 0$$
Сделаем замену
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
и т.к.
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
то
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
подставляем
$$2 x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{2}{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
или
$$2 \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{u^{2}{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Step
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(u)\ u' = f_2(x)\ g_2(u)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(u \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(u \right)} = - \frac{u^{2}{\left(x \right)}}{2}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(u)}{g_2(u)}\ u'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}$
$$- \frac{u^{2}{\left(x \right)}}{2}$$
получим
$$- \frac{2 \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и u.
Step
Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$- \frac{2 dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$- \frac{2 du}{u^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Step
Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по u,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Возьмём эти интегралы
$$\frac{2}{u} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной u.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$u_{1} = u{\left(x \right)} = - \frac{2}{C_{1} + \log{\left(x \right)}}$$
делаем обратную замену
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = - \frac{2}{x \left(C_{1} + \log{\left(x \right)}\right)}$$
Ответ
[src]
2
y(x) = ---------------
x*(C1 - log(x))
$$y{\left(x \right)} = \frac{2}{x \left(C_{1} - \log{\left(x \right)}\right)}$$
Ответ (#2)
[src]
$${\it ilt}\left({{d}\over{d\,g_{19164}}}\,\mathcal{L}\left(y\left(x
\right) , x , g_{19164}\right) , g_{19164} , x\right)={\it ilt}
\left({{{{d}\over{d\,g_{19164}}}\,\mathcal{L}\left(y\left(x\right)^2
, x , g_{19164}\right)}\over{2\,g_{19164}}} , g_{19164} , x\right)$$
'ilt('diff('laplace(y,x,g19164),g19164,1),g19164,x) = 'ilt('diff('laplace(y^2,x,g19164),g19164,1)/(2*g19164),g19164,x)
График для задачи Коши
Классификация
1st rational riccati
Bernoulli
Bernoulli Integral
factorable
lie group
separable reduced
separable reduced Integral
Численный ответ
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 16.74962556311591)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, 1.0676964933756176e-301)
(10.0, 7.73367997254e-313)
(10.0, 7.73367997254e-313)
График