Дифференциальное уравнение 5dy=(2x+1)dx

Разделим обе части уравнения на множитель при производной y':
$$5$$
Получим уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{2 x}{5} + \frac{1}{5}$$
Это дифференциальное уравнение вида:
$$y' = f(x)$$
Оно решается умножением обеих частей уравнения на dx:
$y'dx = f(x)dx$, или
$d(y) = f(x)\ dx$
И взятием от обеих частей уравнения интегралов:
$$\int d(y) = \int f(x) dx$$
или
$$y = \int f(x)\ dx$$
В нашем случае,
$$f(x) = \frac{2 x}{5} + \frac{1}{5}$$

$$∫ d(y) = ∫ y' dx = y = \int \left(\frac{2 x}{5} + \frac{1}{5}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла
или
$$y_{} = \frac{x^{2}}{5} + C_{1} + \frac{x}{5}$$
где C1 - это постоянная, не зависящая от x