Дифференциальное уравнение 3y"–y'=x5

Step

Разделим обе части уравнения на множитель при производной y'':
$$3$$
Получим уравнение:
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{x_{5}}{3}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = - \frac{1}{3}$$
$$q = 0$$
$$s = - \frac{x_{5}}{3}$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step

Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} - \frac{k}{3} = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корни этого уравнения:
$$k_{1} = 0$$
$$k_{2} = \frac{1}{3}$$
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{2} e^{\frac{x}{3}} + C_{1}$$

Step

Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{2}{\left(x \right)} e^{\frac{x}{3}} + C_{1}{\left(x \right)}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = 1$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{3}}$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = \frac{x_{5}}{3}$$
Значит, система примет вид:
$$e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} 1 \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{\frac{x}{3}} = \frac{x_{5}}{3}$$
или
$$e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)}}{3} = \frac{x_{5}}{3}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = - x_{5}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = x_{5} e^{- \frac{x}{3}}$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- x_{5}\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int x_{5} e^{- \frac{x}{3}}\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = - x x_{5} + C_{3}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} - 3 x_{5} e^{- \frac{x}{3}}$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = C_{2}{\left(x \right)} e^{\frac{x}{3}} + C_{1}{\left(x \right)}$$
Получаем окончательный ответ:

Answer: $$y{\left(x \right)} = C_{4} e^{\frac{x}{3}} - x x_{5} + C_{3} - 3 x_{5}$$

где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы