Дифференциальное уравнение 3y^2dy=2xdx

Step

Дано уравнение:
$$3 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 2 x$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{3}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$\frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
получим
$$y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{2 x}{3}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{2 dx x}{3}$$
или
$$dy y^{2}{\left(x \right)} = \frac{2 dx x}{3}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y^{2}\, dy = \int \frac{2 x}{3}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{2}}{3} + Const$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{2} + C_{1}}$$
$$y_{2} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{x^{2} + C_{1}}}{2}$$
$$y_{3} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{x^{2} + C_{1}}}{2}$$