Дифференциальное уравнение (2y+1)dx+(2x+1)dy=0

Step

Дано уравнение:
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2 x + 1}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = 2 y{\left(x \right)} + 1$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$2 y{\left(x \right)} + 1$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{2 x + 1}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{2 x + 1}$$
или
$$\frac{dy}{2 y{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{2 x + 1}$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{2 y + 1}\, dy = \int \left(- \frac{1}{2 x + 1}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{\log{\left(2 y + 1 \right)}}{2} = Const - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} - 2 x}{2 \cdot \left(2 x + 1\right)}$$