Господин Экзамен

Другие калькуляторы


x/(x^2+2*x+4)

Интеграл x/(x^2+2*x+4) d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
  1                
  /                
 |                 
 |       x         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 2*x + 4   
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 2 x + 4}\, dx$$
Подробное решение
Дан интеграл:
  /                 
 |                  
 |        x         
 | 1*------------ dx
 |    2             
 |   x  + 2*x + 4   
 |                  
/                   
Перепишем подинтегральную функцию
               /  1*2*x + 2   \                           
               |--------------|            /-1 \          
               |   2          |            |---|          
     x         \1*x  + 2*x + 4/            \ 3 /          
------------ = ---------------- + ------------------------
 2                    2                              2    
x  + 2*x + 4                      /   ___        ___\     
                                  |-\/ 3       \/ 3 |     
                                  |-------*x - -----|  + 1
                                  \   3          3  /     
или
  /                   
 |                    
 |        x           
 | 1*------------ dx  
 |    2              =
 |   x  + 2*x + 4     
 |                    
/                     
  
                         /                           
                        |                            
                        |            1               
  /                     | ------------------------ dx
 |                      |                    2       
 |   1*2*x + 2          | /   ___        ___\        
 | -------------- dx    | |-\/ 3       \/ 3 |        
 |    2                 | |-------*x - -----|  + 1   
 | 1*x  + 2*x + 4       | \   3          3  /        
 |                      |                            
/                      /                             
-------------------- - ------------------------------
         2                           3               
В интеграле
  /                 
 |                  
 |   1*2*x + 2      
 | -------------- dx
 |    2             
 | 1*x  + 2*x + 4   
 |                  
/                   
--------------------
         2          
сделаем замену
     2      
u = x  + 2*x
тогда
интеграл =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 4 + u                
 |                      
/             log(4 + u)
----------- = ----------
     2            2     
делаем обратную замену
  /                                     
 |                                      
 |   1*2*x + 2                          
 | -------------- dx                    
 |    2                                 
 | 1*x  + 2*x + 4                       
 |                        /     2      \
/                      log\4 + x  + 2*x/
-------------------- = -----------------
         2                     2        
В интеграле
   /                            
  |                             
  |            1                
- | ------------------------ dx 
  |                    2        
  | /   ___        ___\         
  | |-\/ 3       \/ 3 |         
  | |-------*x - -----|  + 1    
  | \   3          3  /         
  |                             
 /                              
--------------------------------
               3                
сделаем замену
        ___       ___
      \/ 3    x*\/ 3 
v = - ----- - -------
        3        3   
тогда
интеграл =
   /                      
  |                       
  |   1                   
- | ------ dv             
  |      2                
  | 1 + v                 
  |                       
 /               -atan(v) 
-------------- = ---------
      3              3    
делаем обратную замену
   /                                                            
  |                                                             
  |            1                                                
- | ------------------------ dx                                 
  |                    2                                        
  | /   ___        ___\                                         
  | |-\/ 3       \/ 3 |                                         
  | |-------*x - -----|  + 1                  /  ___       ___\ 
  | \   3          3  /               ___     |\/ 3    x*\/ 3 | 
  |                                -\/ 3 *atan|----- + -------| 
 /                                            \  3        3   / 
-------------------------------- = -----------------------------
               3                                 3              
Решением будет:
                                  /  ___       ___\
                          ___     |\/ 3    x*\/ 3 |
       /     2      \   \/ 3 *atan|----- + -------|
    log\4 + x  + 2*x/             \  3        3   /
C + ----------------- - ---------------------------
            2                        3             
Ответ (Неопределённый) [src]
                                                       /  ___        \
  /                                            ___     |\/ 3 *(1 + x)|
 |                          /     2      \   \/ 3 *atan|-------------|
 |      x                log\4 + x  + 2*x/             \      3      /
 | ------------ dx = C + ----------------- - -------------------------
 |  2                            2                       3            
 | x  + 2*x + 4                                                       
 |                                                                    
/                                                                     
$${{\log \left(x^2+2\,x+4\right)}\over{2}}-{{\arctan \left({{2\,x+2 }\over{2\,\sqrt{3}}}\right)}\over{\sqrt{3}}}$$
График
Ответ [src]
                            /    ___\           
                    ___     |2*\/ 3 |           
                  \/ 3 *atan|-------|        ___
log(7)   log(4)             \   3   /   pi*\/ 3 
------ - ------ - ------------------- + --------
  2        2               3               18   
$$-{{\arctan \left({{2}\over{\sqrt{3}}}\right)}\over{\sqrt{3}}}+{{ \log 7}\over{2}}-{{\log 4}\over{2}}+{{\pi}\over{2\,3^{{{3}\over{2}}} }}$$
=
=
                            /    ___\           
                    ___     |2*\/ 3 |           
                  \/ 3 *atan|-------|        ___
log(7)   log(4)             \   3   /   pi*\/ 3 
------ - ------ - ------------------- + --------
  2        2               3               18   
$$- \frac{\log{\left(4 \right)}}{2} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}}{3} + \frac{\sqrt{3} \pi}{18} + \frac{\log{\left(7 \right)}}{2}$$
Численный ответ [src]
0.0872770682005976
0.0872770682005976
График
Интеграл x/(x^2+2*x+4) d{x}

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.