z^3-(1/(-1-i))=0 уравнение

Дано уравнение
$$z^{3} - 1 \cdot \frac{1}{-1 - i} = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{\frac{-1 + i}{2}}$$
или
$$z = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{-1 + i}}{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения

z = 2^2/3-1+i^1/3/2

Получим ответ: z = 2^(2/3)*(-1 + i)^(1/3)/2

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = \frac{-1 + i}{2}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{-1 + i}{2}$$
где
$$r = \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{12}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} i}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$