Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение x-11=x+7/7
-
Уравнение -7x+8=9x
- Уравнение 0,7+0,3(x+2)=0,4(x-3)
- Уравнение 10х+18=15х+3
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -11*x-3*y=14
- 3*x+4*y=12
- 4*x+5*y=-7
- 4*x-6*y=0
-
Идентичные выражения
- z^ три - один / двадцать семь = ноль
- z в кубе минус 1 делить на 27 равно 0
- z в степени три минус один делить на двадцать семь равно ноль
- z3-1/27=0
- z³-1/27=0
- z в степени 3-1/27=0
- z^3-1/27=O
- z^3-1 разделить на 27=0
-
Похожие выражения
- z^3+1/27=0
z^3-1/27=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{3} - \frac{1}{27} = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}}$$
или
$$z = \frac{1}{3}$$
Получим ответ: z = 1/3
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = \frac{1}{27}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{27}$$
где
$$r = \frac{1}{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \frac{1}{3}$$
$$w_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
$$w_{3} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \frac{1}{3}$$
$$z_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
$$z^{3} - \frac{1}{27} = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}}$$
или
$$z = \frac{1}{3}$$
Получим ответ: z = 1/3
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = \frac{1}{27}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{27}$$
где
$$r = \frac{1}{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \frac{1}{3}$$
$$w_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
$$w_{3} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \frac{1}{3}$$
$$z_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{1}{27}$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - \frac{1}{27}$$
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{1}{27}$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - \frac{1}{27}$$
Быстрый ответ
[src]
z_1 = 1/3
$$z_{1} = \frac{1}{3}$$
___
1 I*\/ 3
z_2 = - - - -------
6 6
$$z_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
___
1 I*\/ 3
z_3 = - - + -------
6 6
$$z_{3} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
1/3 + - - - ------- + - - + -------
6 6 6 6
$$\left(\frac{1}{3}\right) + \left(- \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}\right) + \left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
1/3 * - - - ------- * - - + -------
6 6 6 6
$$\left(\frac{1}{3}\right) * \left(- \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}\right) * \left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}\right)$$
=
1/27
$$\frac{1}{27}$$
Численный ответ
[src]
z1 = -0.166666666666667 - 0.288675134594813*i
z2 = 0.333333333333333
z3 = -0.166666666666667 + 0.288675134594813*i
z3 = -0.166666666666667 + 0.288675134594813*i
График