Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 5х-12=2х+3
- Уравнение |x|+2,1=1
- Уравнение 6x+10=4x+12
- Уравнение 4-3(7+2х)=19
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 8*x+3*y=-14
- 12*x-15*y=15
- -18*x-20*y=20
- 3*x+9*y=18
-
Идентичные выражения
- z^ пять + один = ноль
- z в степени 5 плюс 1 равно 0
- z в степени пять плюс один равно ноль
- z5+1=0
- z⁵+1=0
- z^5+1=O
-
Похожие выражения
- z^5-1=0
- (z^5)+1+3*i=0
z^5+1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{5} + 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 z + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{-1}$$
или
$$z = \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: z = (-1)^(1/5)
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{5} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$w_{4} = \frac{1}{4} + \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$w_{5} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} - \frac{i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{4} = \frac{1}{4} + \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$z_{5} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} - \frac{i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$z^{5} + 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 z + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{-1}$$
или
$$z = \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
z = -1^1/5
Получим ответ: z = (-1)^(1/5)
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{5} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$w_{4} = \frac{1}{4} + \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$w_{5} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} - \frac{i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{4} = \frac{1}{4} + \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$z_{5} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{4} - \frac{i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
Быстрый ответ
[src]
z_1 = -1
$$z_{1} = -1$$
___________
___ / ___ / ___ ____\
1 \/ 5 I*\/ 5 - \/ 5 *\- \/ 2 - \/ 10 /
z_2 = - - ----- + -----------------------------------
4 4 8
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{i \sqrt{- \sqrt{5} + 5} \left(- \sqrt{10} - \sqrt{2}\right)}{8}$$
/ ______________ ______________ _______________ _______________\
___ | / ___ / ___ / ___ / ___ |
1 \/ 5 | \/ 10 - 2*\/ 5 \/ 10 + 2*\/ 5 \/ 50 + 10*\/ 5 \/ 50 - 10*\/ 5 |
z_3 = - + ----- + I*|- ----------------- - ----------------- - ------------------ + ------------------|
4 4 \ 16 16 16 16 /
$$z_{3} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16} - \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{\sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)$$
/ ______________ ______________ _______________ _______________\
___ | / ___ / ___ / ___ / ___ |
1 \/ 5 | \/ 10 - 2*\/ 5 \/ 10 + 2*\/ 5 \/ 50 - 10*\/ 5 \/ 50 + 10*\/ 5 |
z_4 = - - ----- + I*|- ----------------- + ----------------- + ------------------ + ------------------|
4 4 \ 16 16 16 16 /
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{\sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16} + \frac{\sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)$$
______________
___ / ___
1 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5
z_5 = - + ----- + -------------------
4 4 4
$$z_{5} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___________ / ______________ ______________ _______________ _______________\ / ______________ ______________ _______________ _______________\ ______________
___ / ___ / ___ ____\ ___ | / ___ / ___ / ___ / ___ | ___ | / ___ / ___ / ___ / ___ | ___ / ___
1 \/ 5 I*\/ 5 - \/ 5 *\- \/ 2 - \/ 10 / 1 \/ 5 | \/ 10 - 2*\/ 5 \/ 10 + 2*\/ 5 \/ 50 + 10*\/ 5 \/ 50 - 10*\/ 5 | 1 \/ 5 | \/ 10 - 2*\/ 5 \/ 10 + 2*\/ 5 \/ 50 - 10*\/ 5 \/ 50 + 10*\/ 5 | 1 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5
-1 + - - ----- + ----------------------------------- + - + ----- + I*|- ----------------- - ----------------- - ------------------ + ------------------| + - - ----- + I*|- ----------------- + ----------------- + ------------------ + ------------------| + - + ----- + -------------------
4 4 8 4 4 \ 16 16 16 16 / 4 4 \ 16 16 16 16 / 4 4 4
$$\left(-1\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{i \sqrt{- \sqrt{5} + 5} \left(- \sqrt{10} - \sqrt{2}\right)}{8}\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16} - \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{\sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{\sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16} + \frac{\sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4}\right)$$
=
/ ______________ ______________ _______________ _______________\ / ______________ ______________ _______________ _______________\ ______________ ___________ | / ___ / ___ / ___ / ___ | | / ___ / ___ / ___ / ___ | / ___ / ___ / ___ ____\ | \/ 10 - 2*\/ 5 \/ 10 + 2*\/ 5 \/ 50 + 10*\/ 5 \/ 50 - 10*\/ 5 | | \/ 10 - 2*\/ 5 \/ 10 + 2*\/ 5 \/ 50 - 10*\/ 5 \/ 50 + 10*\/ 5 | I*\/ 10 - 2*\/ 5 I*\/ 5 - \/ 5 *\- \/ 2 - \/ 10 / I*|- ----------------- - ----------------- - ------------------ + ------------------| + I*|- ----------------- + ----------------- + ------------------ + ------------------| + ------------------- + ----------------------------------- \ 16 16 16 16 / \ 16 16 16 16 / 4 8
$$\frac{i \sqrt{- \sqrt{5} + 5} \left(- \sqrt{10} - \sqrt{2}\right)}{8} + i \left(- \frac{\sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16} - \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{\sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right) + \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{\sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16} + \frac{\sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)$$
произведение
___________ / ______________ ______________ _______________ _______________\ / ______________ ______________ _______________ _______________\ ______________
___ / ___ / ___ ____\ ___ | / ___ / ___ / ___ / ___ | ___ | / ___ / ___ / ___ / ___ | ___ / ___
1 \/ 5 I*\/ 5 - \/ 5 *\- \/ 2 - \/ 10 / 1 \/ 5 | \/ 10 - 2*\/ 5 \/ 10 + 2*\/ 5 \/ 50 + 10*\/ 5 \/ 50 - 10*\/ 5 | 1 \/ 5 | \/ 10 - 2*\/ 5 \/ 10 + 2*\/ 5 \/ 50 - 10*\/ 5 \/ 50 + 10*\/ 5 | 1 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5
-1 * - - ----- + ----------------------------------- * - + ----- + I*|- ----------------- - ----------------- - ------------------ + ------------------| * - - ----- + I*|- ----------------- + ----------------- + ------------------ + ------------------| * - + ----- + -------------------
4 4 8 4 4 \ 16 16 16 16 / 4 4 \ 16 16 16 16 / 4 4 4
$$\left(-1\right) * \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{i \sqrt{- \sqrt{5} + 5} \left(- \sqrt{10} - \sqrt{2}\right)}{8}\right) * \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16} - \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{\sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)\right) * \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{\sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{16} + \frac{\sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{16} + \frac{\sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{16}\right)\right) * \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{4}\right)$$
=
_______________ _______________ ______________
/ ___ / ___ / ___
I*\/ 50 + 10*\/ 5 I*\/ 50 - 10*\/ 5 5*I*\/ 10 - 2*\/ 5
-1 - -------------------- + -------------------- + ---------------------
32 64 64
$$-1 - \frac{i \sqrt{10 \sqrt{5} + 50}}{32} + \frac{i \sqrt{- 10 \sqrt{5} + 50}}{64} + \frac{5 i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{64}$$
Численный ответ
[src]
z1 = 0.809016994374947 + 0.587785252292473*i
z2 = -0.309016994374947 + 0.951056516295154*i
z3 = 0.809016994374947 - 0.587785252292473*i
z4 = -0.309016994374947 - 0.951056516295154*i
z5 = -1.0
z5 = -1.0
График