z^4-4=0 уравнение

Дано уравнение
$$z^{4} - 4 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 z + 0\right)^{4}} = \sqrt{2}$$
$$\sqrt[4]{\left(1 z + 0\right)^{4}} = - \sqrt{2}$$
или
$$z = \sqrt{2}$$
$$z = - \sqrt{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения

z = sqrt2

Получим ответ: z = sqrt(2)
Раскрываем скобочки в правой части уравнения

z = -sqrt2

Получим ответ: z = -sqrt(2)
или
$$z_{1} = - \sqrt{2}$$
$$z_{2} = \sqrt{2}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{4} = 4$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 4$$
где
$$r = \sqrt{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt{2}$$
$$w_{2} = \sqrt{2}$$
$$w_{3} = - \sqrt{2} i$$
$$w_{4} = \sqrt{2} i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt{2}$$
$$z_{2} = \sqrt{2}$$
$$z_{3} = - \sqrt{2} i$$
$$z_{4} = \sqrt{2} i$$