Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение х+(8-3х)=12
- Уравнение 7x-7(x+1)=-2x
- Уравнение 3x+16=9-10x
- Уравнение x:12=7:10
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 18*x-9*y=-18
- 2*x+9*y=-14
- 16*x-8*y=6
- -2*x-3*y=9
-
Идентичные выражения
- x^ три + шестнадцать = ноль
- x в кубе плюс 16 равно 0
- x в степени три плюс шестнадцать равно ноль
- x3+16=0
- x³+16=0
- x в степени 3+16=0
- x^3+16=O
-
Похожие выражения
- x^3-16=0
x^3+16=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} + 16 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-16}$$
или
$$x = 2 \sqrt[3]{-2}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = 2*(-2)^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -16$$
где
$$r = 2 \cdot \sqrt[3]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2 \cdot \sqrt[3]{2}$$
$$z_{2} = \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2 \cdot \sqrt[3]{2}$$
$$x_{2} = \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
$$x^{3} + 16 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-16}$$
или
$$x = 2 \sqrt[3]{-2}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = -2*2^1/3
Получим ответ: x = 2*(-2)^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -16$$
где
$$r = 2 \cdot \sqrt[3]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2 \cdot \sqrt[3]{2}$$
$$z_{2} = \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2 \cdot \sqrt[3]{2}$$
$$x_{2} = \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 16$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 16$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 16$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 16$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
3 ___ 3 ___ 3 ___ ___ 3 ___ 3 ___ ___ -2*\/ 2 + \/ 2 - I*\/ 2 *\/ 3 + \/ 2 + I*\/ 2 *\/ 3
$$\left(- 2 \cdot \sqrt[3]{2}\right) + \left(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i\right) + \left(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
3 ___ 3 ___ 3 ___ ___ 3 ___ 3 ___ ___ -2*\/ 2 * \/ 2 - I*\/ 2 *\/ 3 * \/ 2 + I*\/ 2 *\/ 3
$$\left(- 2 \cdot \sqrt[3]{2}\right) * \left(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i\right) * \left(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i\right)$$
=
-16
$$-16$$
Быстрый ответ
[src]
3 ___ x_1 = -2*\/ 2
$$x_{1} = - 2 \cdot \sqrt[3]{2}$$
3 ___ 3 ___ ___ x_2 = \/ 2 - I*\/ 2 *\/ 3
$$x_{2} = \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
3 ___ 3 ___ ___ x_3 = \/ 2 + I*\/ 2 *\/ 3
$$x_{3} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
Численный ответ
[src]
x1 = -2.51984209978975
x2 = 1.25992104989487 + 2.18224727194344*i
x3 = 1.25992104989487 - 2.18224727194344*i
x3 = 1.25992104989487 - 2.18224727194344*i
График