(х+4)^4-6(х+4)^2-7=0 уравнение

Дано уравнение:
$$\left(x + 4\right)^{4} - 6 \left(x + 4\right)^{2} - 7 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(x + 4\right)^{2}$$
тогда уравнение будет таким:
$$v^{2} - 6 v - 7 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -6$$
$$c = -7$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \left(-7\right) + \left(-6\right)^{2} = 64$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = 7$$
Упростить
$$v_{2} = -1$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = \left(x + 4\right)^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}} - 4$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}} - 4$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}} - 4$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}} - 4$$
тогда:
$$x_{1} = - \frac{4}{1} + \frac{1 \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{1} = -4 + \sqrt{7}$$
$$x_{2} = - \frac{4}{1} + \frac{\left(-1\right) 7^{\frac{1}{2}}}{1} = -4 - \sqrt{7}$$
$$x_{3} = - \frac{4}{1} + \frac{1 \left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -4 + i$$
$$x_{4} = - \frac{4}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -4 - i$$