Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 0,4x-12=-10
- Уравнение x²+4x-5=0
- Уравнение 5(x-2)-4=6x+7
- Уравнение 5x+10=15x+40
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 6*x-18*y=10
- 18*x+9*y=0
- -19*x-12*y=-4
- 3*x+15*y=5
-
Идентичные выражения
- sin^ два (x)+sin(x)= три
- синус от в квадрате (x) плюс синус от (x) равно 3
- синус от в степени два (x) плюс синус от (x) равно три
- sin2(x)+sin(x)=3
- sin2x+sinx=3
- sin²(x)+sin(x)=3
- sin в степени 2(x)+sin(x)=3
- sin^2x+sinx=3
-
Похожие выражения
- sin^2(x)-sin(x)=3
- sin^2(x)+sinx=3
sin^2(x)+sin(x)=3 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 3$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 3 = 0$$
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -3$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$1^{2} - 1 \cdot 4 \left(-3\right) = 13$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 3$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} - 3 = 0$$
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) - 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -3$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$1^{2} - 1 \cdot 4 \left(-3\right) = 13$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}$$
Быстрый ответ
[src]
/ / ____\\ / / ____\\
| |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 ||
x_1 = pi + I*im|asin|- - ------|| + re|asin|- - ------||
\ \2 2 // \ \2 2 //
$$x_{1} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)}$$
/ / ____\\ / / ____\\
| |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 ||
x_2 = pi + I*im|asin|- + ------|| + re|asin|- + ------||
\ \2 2 // \ \2 2 //
$$x_{2} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)}$$
/ / ____\\ / / ____\\
| |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 ||
x_3 = - re|asin|- - ------|| - I*im|asin|- - ------||
\ \2 2 // \ \2 2 //
$$x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)}$$
/ / ____\\ / / ____\\
| |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 ||
x_4 = - re|asin|- + ------|| - I*im|asin|- + ------||
\ \2 2 // \ \2 2 //
$$x_{4} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
/ / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\
| |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 ||
pi + I*im|asin|- - ------|| + re|asin|- - ------|| + pi + I*im|asin|- + ------|| + re|asin|- + ------|| + - re|asin|- - ------|| - I*im|asin|- - ------|| + - re|asin|- + ------|| - I*im|asin|- + ------||
\ \2 2 // \ \2 2 // \ \2 2 // \ \2 2 // \ \2 2 // \ \2 2 // \ \2 2 // \ \2 2 //
$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)}\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)}\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)}\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)}\right)$$
=
2*pi
$$2 \pi$$
произведение
/ / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\ / / ____\\
| |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 ||
pi + I*im|asin|- - ------|| + re|asin|- - ------|| * pi + I*im|asin|- + ------|| + re|asin|- + ------|| * - re|asin|- - ------|| - I*im|asin|- - ------|| * - re|asin|- + ------|| - I*im|asin|- + ------||
\ \2 2 // \ \2 2 // \ \2 2 // \ \2 2 // \ \2 2 // \ \2 2 // \ \2 2 // \ \2 2 //
$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)}\right) * \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)}\right) * \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)}\right) * \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)}\right)$$
=
/ / / ____\\ / / ____\\\ / / / ____\\ / / ____\\\ / / / ____\\ / / ____\\\ / / / ____\\ / / ____\\\ | | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 ||| | | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 ||| | | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 ||| | | |1 \/ 13 || | |1 \/ 13 ||| |I*im|asin|- + ------|| + re|asin|- + ------|||*|I*im|asin|- - ------|| + re|asin|- - ------|||*|pi + I*im|asin|- + ------|| + re|asin|- + ------|||*|pi + I*im|asin|- - ------|| + re|asin|- - ------||| \ \ \2 2 // \ \2 2 /// \ \ \2 2 // \ \2 2 /// \ \ \2 2 // \ \2 2 /// \ \ \2 2 // \ \2 2 ///
$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} \right)}\right)}\right)$$
Численный ответ
[src]
x1 = 1.5707963267949 + 0.759765688207722*i
x2 = 4.71238898038469 - 1.47638387575057*i
x3 = 1.5707963267949 - 0.759765688207722*i
x4 = -1.5707963267949 + 1.47638387575057*i
x4 = -1.5707963267949 + 1.47638387575057*i
График