Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 5х-2х+4=8
- Уравнение 3-4х=-8х+9
- Уравнение 1,5х-5=21,5+2,5х
- Уравнение (х+3,5)×5,1=36,72
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -8*x+5*y=-20
- 15*x+17*y=9
- 5*x+3*y=-15
- 3*x+5*y=4
-
Идентичные выражения
- один 6x^ четыре +1= ноль
- 16x в степени 4 плюс 1 равно 0
- один 6x в степени четыре плюс 1 равно ноль
- 16x4+1=0
- 16x⁴+1=0
- 16x^4+1=O
-
Похожие выражения
- 16x^4-1=0
- 16*x^4+15*x^2-1=0
16x^4+1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$16 x^{4} + 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = - \frac{1}{16}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = - \frac{1}{16}$$
где
$$r = \frac{1}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$16 x^{4} + 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = - \frac{1}{16}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = - \frac{1}{16}$$
где
$$r = \frac{1}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
Быстрый ответ
[src]
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
x_1 = - ----- - -------
4 4
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
x_2 = - ----- + -------
4 4
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
x_3 = ----- - -------
4 4
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
x_4 = ----- + -------
4 4
$$x_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2
- ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
4 4 4 4 4 4 4 4
$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}\right) + \left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2
- ----- - ------- * - ----- + ------- * ----- - ------- * ----- + -------
4 4 4 4 4 4 4 4
$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}\right) * \left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}\right) * \left(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}\right) * \left(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}\right)$$
=
1/16
$$\frac{1}{16}$$
Численный ответ
[src]
x1 = -0.353553390593274 + 0.353553390593274*i
x2 = -0.353553390593274 - 0.353553390593274*i
x3 = 0.353553390593274 - 0.353553390593274*i
x4 = 0.353553390593274 + 0.353553390593274*i
x4 = 0.353553390593274 + 0.353553390593274*i
График