Господин Экзамен

Другие калькуляторы


cos^2x+1=0

cos^2x+1=0 уравнение

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Численное решение:

Искать численное решение на промежутке [, ]

Решение

Вы ввели [src]
   2           
cos (x) + 1 = 0
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 1 + 0^{2} = -4$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = i$$
Упростить
$$w_{2} = - i$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(i \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- i \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(i \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- i \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
График
Быстрый ответ [src]
      pi        /      ___\
x_1 = -- - I*log\1 + \/ 2 /
      2                    
$$x_{1} = \frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
      pi        /      ___\
x_2 = -- + I*log\1 + \/ 2 /
      2                    
$$x_{2} = \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
      3*pi        /      ___\
x_3 = ---- - I*log\1 + \/ 2 /
       2                     
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
      3*pi        /      ___\
x_4 = ---- + I*log\1 + \/ 2 /
       2                     
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
Сумма и произведение корней [src]
сумма
pi        /      ___\   pi        /      ___\   3*pi        /      ___\   3*pi        /      ___\
-- - I*log\1 + \/ 2 / + -- + I*log\1 + \/ 2 / + ---- - I*log\1 + \/ 2 / + ---- + I*log\1 + \/ 2 /
2                       2                        2                         2                     
$$\left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) + \left(\frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) + \left(\frac{3 \pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) + \left(\frac{3 \pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right)$$
=
4*pi
$$4 \pi$$
произведение
pi        /      ___\   pi        /      ___\   3*pi        /      ___\   3*pi        /      ___\
-- - I*log\1 + \/ 2 / * -- + I*log\1 + \/ 2 / * ---- - I*log\1 + \/ 2 / * ---- + I*log\1 + \/ 2 /
2                       2                        2                         2                     
$$\left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) * \left(\frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) * \left(\frac{3 \pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) * \left(\frac{3 \pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right)$$
=
                      4       2    2/      ___\
   4/      ___\   9*pi    5*pi *log \1 + \/ 2 /
log \1 + \/ 2 / + ----- + ---------------------
                    16              2          
$$\log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}^{4} + \frac{5 \pi^{2} \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}^{2}}{2} + \frac{9 \pi^{4}}{16}$$
Численный ответ [src]
x1 = 1.5707963267949 - 0.881373587019543*i
x2 = 1.5707963267949 + 0.881373587019543*i
x3 = 4.71238898038469 - 0.881373587019543*i
x4 = 4.71238898038469 + 0.881373587019543*i
x4 = 4.71238898038469 + 0.881373587019543*i
График
cos^2x+1=0 уравнение