Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 4^x-2^x+1=48
- Уравнение x²-49=0
- Уравнение 5x=15
- Уравнение (x+1)^2=7918-2x
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 3*x+18*y=-9
- 5*x+2*y=-10
- 12*x+13*y=1
- 2*x+3*y=12
-
Идентичные выражения
- cos^2x+ один = ноль
- косинус от в квадрате x плюс 1 равно 0
- косинус от в квадрате x плюс один равно ноль
- cos2x+1=0
- cos²x+1=0
- cos в степени 2x+1=0
- cos^2x+1=O
-
Похожие выражения
- cos^2x-1=0
- 2*cos^2(x)+1=0
cos^2x+1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 1 + 0^{2} = -4$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = i$$
Упростить
$$w_{2} = - i$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(i \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- i \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(i \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- i \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 1 + 0^{2} = -4$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = i$$
Упростить
$$w_{2} = - i$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(i \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- i \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(i \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- i \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
Быстрый ответ
[src]
pi / ___\
x_1 = -- - I*log\1 + \/ 2 /
2
$$x_{1} = \frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
pi / ___\
x_2 = -- + I*log\1 + \/ 2 /
2
$$x_{2} = \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
3*pi / ___\
x_3 = ---- - I*log\1 + \/ 2 /
2
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
3*pi / ___\
x_4 = ---- + I*log\1 + \/ 2 /
2
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
pi / ___\ pi / ___\ 3*pi / ___\ 3*pi / ___\ -- - I*log\1 + \/ 2 / + -- + I*log\1 + \/ 2 / + ---- - I*log\1 + \/ 2 / + ---- + I*log\1 + \/ 2 / 2 2 2 2
$$\left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) + \left(\frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) + \left(\frac{3 \pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) + \left(\frac{3 \pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right)$$
=
4*pi
$$4 \pi$$
произведение
pi / ___\ pi / ___\ 3*pi / ___\ 3*pi / ___\ -- - I*log\1 + \/ 2 / * -- + I*log\1 + \/ 2 / * ---- - I*log\1 + \/ 2 / * ---- + I*log\1 + \/ 2 / 2 2 2 2
$$\left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) * \left(\frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) * \left(\frac{3 \pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) * \left(\frac{3 \pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right)$$
=
4 2 2/ ___\
4/ ___\ 9*pi 5*pi *log \1 + \/ 2 /
log \1 + \/ 2 / + ----- + ---------------------
16 2
$$\log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}^{4} + \frac{5 \pi^{2} \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}^{2}}{2} + \frac{9 \pi^{4}}{16}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 1.5707963267949 - 0.881373587019543*i
x2 = 1.5707963267949 + 0.881373587019543*i
x3 = 4.71238898038469 - 0.881373587019543*i
x4 = 4.71238898038469 + 0.881373587019543*i
x4 = 4.71238898038469 + 0.881373587019543*i
График