Господин Экзамен

Другие калькуляторы


cos(2*x)-sin(x)-1=0

cos(2*x)-sin(x)-1=0 уравнение

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Численное решение:

Искать численное решение на промежутке [, ]

Решение

Вы ввели [src]
cos(2*x) - sin(x) - 1 = 0
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} - 1 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} - 1 = 0$$
преобразуем
$$- \left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = -1$$
$$c = 0$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) \left(\left(-2\right) 4\right) 0 + \left(-1\right)^{2} = 1$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = 0$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(0 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(0 \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi$$
График
Быстрый ответ [src]
x_1 = 0
$$x_{1} = 0$$
      -5*pi
x_2 = -----
        6  
$$x_{2} = - \frac{5 \pi}{6}$$
      -pi 
x_3 = ----
       6  
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
x_4 = pi
$$x_{4} = \pi$$
Сумма и произведение корней [src]
сумма
    -5*pi   -pi      
0 + ----- + ---- + pi
      6      6       
$$\left(0\right) + \left(- \frac{5 \pi}{6}\right) + \left(- \frac{\pi}{6}\right) + \left(\pi\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
    -5*pi   -pi      
0 * ----- * ---- * pi
      6      6       
$$\left(0\right) * \left(- \frac{5 \pi}{6}\right) * \left(- \frac{\pi}{6}\right) * \left(\pi\right)$$
=
0
$$0$$
Численный ответ [src]
x1 = 1538.8568014834
x2 = 9.94837673636768
x3 = 81.6814089933346
x4 = 25.1327412287183
x5 = 18.3259571459405
x6 = -75.398223686155
x7 = -31.4159265358979
x8 = 12.0427718387609
x9 = 44890.7410259202
x10 = -63.3554518473942
x11 = 50.2654824574367
x12 = 0.0
x13 = 31.4159265358979
x14 = -94.2477796076938
x15 = 94.2477796076938
x16 = -78.0162175641465
x17 = -75.9218224617533
x18 = 16.2315620435473
x19 = -97.3893722612836
x20 = -31.9395253114962
x21 = -21.9911485751286
x22 = 28.2743338823081
x23 = 84.8230016469244
x24 = 47.1238898038469
x25 = -87.9645943005142
x26 = 3.66519142918809
x27 = -59.6902604182061
x28 = -18.8495559215388
x29 = -65.9734457253857
x30 = 68.5914396033772
x31 = -12.5663706143592
x32 = 3.14159265358979
x33 = -50.2654824574367
x34 = -9.42477796076938
x35 = -84.2994028713261
x36 = -43.9822971502571
x37 = 43.9822971502571
x38 = 34.5575191894877
x39 = -71.733032256967
x40 = 74.8746249105567
x41 = -37.6991118430775
x42 = -100.530964914873
x43 = 56.025068989018
x44 = 37.6991118430775
x45 = -34.5575191894877
x46 = 24.60914245312
x47 = 97.9129710368819
x48 = -84.8230016469244
x49 = -81.6814089933346
x50 = -47.1238898038469
x51 = 72.2566310325652
x52 = -88.4881930761125
x53 = -19.3731546971371
x54 = 40.8407044966673
x55 = 60.2138591938044
x56 = -3.14159265358979
x57 = 100.007366139275
x58 = -40.317105721069
x59 = 91.6297857297023
x60 = 6.28318530717959
x61 = -2.61799387799149
x62 = -53.4070751110265
x63 = -91.106186954104
x64 = 62.3082542961976
x65 = -62.8318530717959
x66 = 47.6474885794452
x67 = 78.5398163397448
x68 = 69.1150383789755
x69 = 75.398223686155
x70 = -46.6002910282486
x71 = 21.9911485751286
x72 = 210.486707790516
x73 = -15.707963267949
x74 = -27.7507351067098
x75 = -40.8407044966673
x76 = 87.9645943005142
x77 = -69.6386371545737
x78 = 65.9734457253857
x79 = -34.0339204138894
x80 = -25.6563400043166
x81 = 41.3643032722656
x82 = -90.5825881785057
x83 = -56.5486677646163
x84 = 91.106186954104
x85 = -6.28318530717959
x86 = 53.9306738866248
x86 = 53.9306738866248
График
cos(2*x)-sin(x)-1=0 уравнение