12(3x-5)^3=96 уравнение

Дано уравнение
$$12 \left(3 x - 5\right)^{3} = 96$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{12} \sqrt[3]{\left(3 x - 5\right)^{3}} = \sqrt[3]{96}$$
или
$$\sqrt[3]{12} \cdot \left(3 x - 5\right) = 2 \cdot \sqrt[3]{12}$$
Раскрываем скобочки в левой части уравнения

12^1/3-5+3*x = 2*12^(1/3)

Раскрываем скобочки в правой части уравнения

12^1/3-5+3*x = 2*12^1/3

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$\sqrt[3]{12} \cdot \left(3 x - 5\right) + 5 = 2 \cdot \sqrt[3]{12} + 5$$
Разделим обе части уравнения на (5 + 12^(1/3)*(-5 + 3*x))/x

x = 5 + 2*12^(1/3) / ((5 + 12^(1/3)*(-5 + 3*x))/x)

Получим ответ: x = 7/3

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = 3 x - 5$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 8$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = 3 x - 5$$
$$x = \frac{z}{3} + \frac{5}{3}$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{7}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
$$x_{3} = \frac{4}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3}$$