Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение х²=0
-
Уравнение 0,5(8x+1)=1,5-(2-4x)
-
Уравнение 4*x+5=0
-
Уравнение t^2-3*t-4=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -2*x+9*y=13
- 4*x+3*y=-5
- 4*x+16*y=12
- 9*x-14*y=3
-
Идентичные выражения
- двадцать семь *x^ три - один = ноль
- 27 умножить на x в кубе минус 1 равно 0
- двадцать семь умножить на x в степени три минус один равно ноль
- 27*x3-1=0
- 27*x³-1=0
- 27*x в степени 3-1=0
- 27x^3-1=0
- 27x3-1=0
- 27*x^3-1=O
-
Похожие выражения
- 27*x^3+1=0
27*x^3-1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$27 x^{3} - 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{27} \sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
или
$$3 x = 1$$
Разделим обе части уравнения на 3
Получим ответ: x = 1/3
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = \frac{1}{27}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{27}$$
где
$$r = \frac{1}{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{1}{3}$$
$$z_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
$$27 x^{3} - 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{27} \sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
или
$$3 x = 1$$
Разделим обе части уравнения на 3
x = 1 / (3)
Получим ответ: x = 1/3
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = \frac{1}{27}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{27}$$
где
$$r = \frac{1}{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{1}{3}$$
$$z_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
Теорема Виета
перепишем уравнение
$$27 x^{3} - 1 = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - \frac{1}{27} = 0$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{1}{27}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{1}{27}$$
$$27 x^{3} - 1 = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - \frac{1}{27} = 0$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{1}{27}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{1}{27}$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = 1/3
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
___
1 I*\/ 3
x_2 = - - - -------
6 6
$$x_{2} = - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
___
1 I*\/ 3
x_3 = - - + -------
6 6
$$x_{3} = - \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
1/3 + - - - ------- + - - + -------
6 6 6 6
$$\left(\frac{1}{3}\right) + \left(- \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}\right) + \left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
1/3 * - - - ------- * - - + -------
6 6 6 6
$$\left(\frac{1}{3}\right) * \left(- \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3} i}{6}\right) * \left(- \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3} i}{6}\right)$$
=
1/27
$$\frac{1}{27}$$
Численный ответ
[src]
x1 = -0.166666666666667 - 0.288675134594813*i
x2 = 0.333333333333333
x3 = -0.166666666666667 + 0.288675134594813*i
x3 = -0.166666666666667 + 0.288675134594813*i
График