Господин Экзамен

Другие калькуляторы

xy'=e^y
Дифференциальные уравнения/ xy'=e^y

Дифференциальное уравнение xy'=e^y

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
  d           y(x)
x*--(y(x)) = e    
  dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{y{\left(x \right)}}$$ 
x*y' = exp(y)
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{y{\left(x \right)}}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - e^{y{\left(x \right)}}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$- e^{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$- e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step


Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$- dx e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$- dy e^{- y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Step


Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- e^{- y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$e^{- y} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}} \right)}$$
Ответ [src] 
          /    -1     \
y(x) = log|-----------|
          \C1 + log(x)/
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{1}{C_{1} + \log{\left(x \right)}} \right)}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)={\it ilt}\left(-g_{19164}\,\left({{d}\over{d\, g_{19164}}}\,\mathcal{L}\left(y\left(x\right) , x , g_{19164}\right) \right) , g_{19164} , x\right)+{\it ilt}\left(-\mathcal{L}\left(e^{y \left(x\right)} , x , g_{19164}\right) , g_{19164} , x\right)$$ 
y = 'ilt(-g19164*'diff('laplace(y,x,g19164),g19164,1),g19164,x)+'ilt(-'laplace(E^y,x,g19164),g19164,x)
График для задачи Коши
Классификация
1st exact
1st exact Integral
factorable
lie group
separable
separable Integral
separable reduced
separable reduced Integral
Численный ответ [src] 
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.32340465520819256)
(-5.555555555555555, -0.058413426339911784)
(-3.333333333333333, -0.4516989734793544)
(-1.1111111111111107, -0.9819256522558479)
(1.1111111111111107, -3.950427359829903)
(3.333333333333334, 0.0)
(5.555555555555557, 0.0)
(7.777777777777779, 0.0)
(10.0, 0.0)
(10.0, 0.0)
График
Дифференциальное уравнение xy'=e^y
    © Господин Экзамен – Калькулятор