Господин Экзамен

Другие калькуляторы

2y'=-yctgx
Дифференциальные уравнения/ 2y'=-yctgx

Дифференциальное уравнение 2y'=-yctgx

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
  d                      
2*--(y(x)) = -cot(x)*y(x)
  dx
$$2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - y{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}$$ 
2*y' = -y*cot(x)
Подробное решение

Step


Разделим обе части уравнения на множитель при производной y':
$$2$$
Получим уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{y{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{2}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$y' + P(x)y = 0$$,
где
$$P{\left(x \right)} = \frac{\cot{\left(x \right)}}{2}$$
и
и называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 1го порядка:
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Данное уравнение решается следущими шагами:
Из $y' + P(x)y = 0$ получаем
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(x \right)} = \frac{\cot{\left(x \right)}}{2}$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{\cot{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{2} + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного уравнения:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1}}}{\sqrt{\sin{\left(x \right)}}}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2}}}{\sqrt{\sin{\left(x \right)}}}$$
что соответствует решению с любой константой C, не равной нулю:
$$y = \frac{C}{\sqrt{\sin{\left(x \right)}}}$$
Ответ [src] 
           C1    
y(x) = ----------
         ________
       \/ sin(x)
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{\sqrt{\sin{\left(x \right)}}}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)={\it ilt}\left(-{{\mathcal{L}\left(y\left(x\right) \,\cot x , x , g_{19164}\right)-2\,y\left(0\right)}\over{2\, g_{19164}}} , g_{19164} , x\right)$$ 
y = 'ilt(-('laplace(y*cot(x),x,g19164)-2*y(0))/(2*g19164),g19164,x)
График для задачи Коши
Классификация
1st exact
1st exact Integral
1st linear
1st linear Integral
Bernoulli
Bernoulli Integral
almost linear
almost linear Integral
factorable
lie group
separable
separable Integral
Численный ответ [src] 
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, 6.941889189493e-310)
(-3.333333333333333, 6.942176789918e-310)
(-1.1111111111111107, 6.941889182097e-310)
(1.1111111111111107, 6.942176789918e-310)
(3.333333333333334, 6.94188918299345e-310)
(5.555555555555557, 6.9418891894574e-310)
(7.777777777777779, 6.9418891830124e-310)
(10.0, 6.8992370740432e-310)
(10.0, 6.8992370740432e-310)
График
Дифференциальное уравнение 2y'=-yctgx
    © Господин Экзамен – Калькулятор