Производная log(tan(3*x)-x)

Решение

Вы ввели [src]

log(tan(3*x) - x)

$$\log{\left(- x + \tan{\left(3 x \right)} \right)}$$

d                    
--(log(tan(3*x) - x))
dx

$$\frac{d}{d x} \log{\left(- x + \tan{\left(3 x \right)} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = - x + \tan{\left(3 x \right)}$ .
Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(- x + \tan{\left(3 x \right)}\right)$ :
1. дифференцируем $- x + \tan{\left(3 x \right)}$ почленно:
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = 3 x$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$ :
      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
        
        В силу правила, применим: $x$ получим $1$
        
        Таким образом, в результате: $3$
      В результате последовательности правил:
      
      $3 \cos{\left(3 x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = 3 x$ .
    2. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$ :
      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
        
        В силу правила, применим: $x$ получим $1$
        
        Таким образом, в результате: $3$
      В результате последовательности правил:
      
      $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$
  3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $-1$
  В результате: $\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}} - 1$
В результате последовательности правил:

$\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}} - 1}{- x + \tan{\left(3 x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 5}{2 \left(x - \tan{\left(3 x \right)}\right) \cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

Ответ:

$\frac{\cos{\left(6 x \right)} - 5}{2 \left(x - \tan{\left(3 x \right)}\right) \cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

         2     
2 + 3*tan (3*x)
---------------
  tan(3*x) - x

$$\frac{3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 2}{- x + \tan{\left(3 x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

 /                 2                              \ 
 |/         2     \                               | 
 |\2 + 3*tan (3*x)/       /       2     \         | 
-|------------------ + 18*\1 + tan (3*x)/*tan(3*x)| 
 \   x - tan(3*x)                                 / 
----------------------------------------------------
                    x - tan(3*x)

$$- \frac{18 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \tan{\left(3 x \right)} + \frac{\left(3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 2\right)^{2}}{x - \tan{\left(3 x \right)}}}{x - \tan{\left(3 x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

   /                                       3                                                                               \
   |                  2   /         2     \                                      /       2     \ /         2     \         |
   |   /       2     \    \2 + 3*tan (3*x)/          2      /       2     \   27*\1 + tan (3*x)/*\2 + 3*tan (3*x)/*tan(3*x)|
-2*|27*\1 + tan (3*x)/  + ------------------ + 54*tan (3*x)*\1 + tan (3*x)/ + ---------------------------------------------|
   |                                     2                                                     x - tan(3*x)                |
   \                       (x - tan(3*x))                                                                                  /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                        x - tan(3*x)

$$- \frac{2 \cdot \left(54 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 27 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2} + \frac{27 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 2\right) \tan{\left(3 x \right)}}{x - \tan{\left(3 x \right)}} + \frac{\left(3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 2\right)^{3}}{\left(x - \tan{\left(3 x \right)}\right)^{2}}\right)}{x - \tan{\left(3 x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log(tan(3*x)-x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение